Menentukan Sinus 3 dan 9 derajat dengan Rumus Trigonometri

Topik Bahasan trigonometri

Rumus dasar Trigonometri yang digunakan

*). Sudut ganda :
$\sin A = \sqrt{ \frac{1 - \cos 2A}{2}}$
$\cos A = \sqrt{ \frac{1 + \cos 2A}{2}}$

*). Rumus trigonometri pengurangan sudut :
$\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$
$\cos (A - B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

Nilai sin 3 derajat dan sin 9 derajat

$\sin 3^\circ = \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)$
$\sin 9^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2-\frac{1}{2} \sqrt{10+2\sqrt{5}} }$

Pada artikel sebelumnya telah kita peroleh (Baca Sin/Cos 18) :
$\sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$
$\cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4}$

Dari rumus sudut ganda kita peroleh nilai :
$\sin 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}}$
$\cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

Cara Mencari Nilai sin 3 derajat dan 9 derajat :

*). Nilai sin 9 derajat, dengan sudut ganda :
$\begin{align} \sin A & = \sqrt{ \frac{1 - \cos 2A}{2}} \\ \sin 9^\circ & = \sqrt{ \frac{1 - \cos 2. 9^\circ }{2}} \\ \sin 9^\circ & = \sqrt{ \frac{1 - \cos 18^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1 - \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} }{2}}   \\ & = \sqrt{ \frac{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{8} } \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{ \frac{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{2}} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 - \frac{1}{2} \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }} \end{align}$
Jadi, kita peroleh nilai $\sin 9^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 - \frac{1}{2} \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}$

Sementara dari bentuk rumus $\cos A = \sqrt{ \frac{1 + \cos 2A}{2}} \,$ , maka kita peroleh nilai $\cos 9^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 + \frac{1}{2} \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}$

*). Menentukan nilai $\sin 3^\circ \,$ dengan rumus selisih sudut
$\begin{align} \sin (A - B) & = \sin A \cos B - \cos A \sin B \\ \sin 3^\circ & = \sin (18^\circ - 15^\circ) \\ \sin (18^\circ - 15^\circ) & = \sin 18^\circ \cos 15^\circ - \cos 18^\circ \sin 15^\circ \\ & = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} . \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} . \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}} \\ \sin 3^\circ & = \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \end{align}$
Jadi, nilai $\sin 3^\circ = \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)$

*). Menentukan nilai $\cos 3^\circ \,$ dengan rumus selisih sudut
$\begin{align} \cos (A - B) & = \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \cos 3^\circ & = \cos (18^\circ - 15^\circ) \\ \cos (18^\circ - 15^\circ) & = \cos 18^\circ \cos 15^\circ + \sin 18^\circ \sin 15^\circ \\ & = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4}. \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} . \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}} \\ \cos 3^\circ & = \frac{1}{8}\left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \end{align}$
Jadi, nilai $\cos 3^\circ = \frac{1}{8}\left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)$.

Semoga pembahasan soal Menentukan Sinus 3 dan 9 derajat dengan Rumus Trigonometri ini bermanfaat untuk anda. Jika ada pertanyaan atau soal yang ingin di bahas bisa pilih menu tanya soal. Terima kasih dan sampai jumpa di masalah masalah berikutnya guys.

Cari Soal dan Pembahasan tentang trigonometri

Soal Terkait:

• Soal-Pembahasaan Limit Trigonometri dengan Penjumlahan
• Penyelesaian Persamaan Trigonometri
• Soal dan Pembahasan Integral Parsial TOP
• Soal Turunan Fungsi Trigonometri untuk Perkalian
• Soal-Jawab Aplikasi Identitas, Rumus Jumlah dan Sudut Ganda Trigonometri

Loading...